Каковы ваши шансы выиграть? Вычисляйте с легкостью вероятности событий и оценивайте свои шансы на благоприятный исход событий вместе с Wolfram|Alpha
Изучение теории вероятностей, как правило, начинается с рассмотрения случайной ситуации с малым числом возможных исходов, такие как подбрасывание монеты или игральной кости. Wolfram|Alpha уже давно в состоянии вычислять различные вероятности, связанные с тем или иным выпадением как монеты, так и игральной кости.
Ниже представлен пример вычисления вероятности выпадения 10 очков при подбрасывании 2 игральных костей сразу.
Эти события моделируются математически путем выявления всех возможных исходов (пространства элементарных событий) и присваивания вероятности каждому из этих событий некоторым разумным способом. Полученный набор событий и значений вероятностей, связанных с ними, называется распределением вероятностей случайной величины. Возможные суммы, которые могут выпасть при подбрасывании двух игральных костей, как нетрудно увидеть, таковы:
{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12},
вероятности появления каждой из этих сумм, если посмотреть на рисунок выше, отображены на графике распределения вероятностей (“Distribution of total”), вероятность выпадения соответствующей суммы очков равна высоте соответствующего столбика.
Высоты столбиков, соответствующие вероятностям событий, в этом примере вычисляются математически исходя из предположения о устройстве игральной кости, однако, с помощью Mathematica, можно легко проверить, что рассчитанные аналитически значения вероятностей хорошо отражают реальность, это можно сделать так: подбросить две кости много много много раз и посчитать количество раз, когда выпадала та или иная сумма очков. На графике ниже представлены доли каждой из сумм очков среди всех результатов экспериментов по подбрасыванию двух игральных костей 1000000 раз, как видно, полученный график выглядит крайне похожим на тот, что предоставляет в качестве ответа Wolfram|Alpha.
In[1]:=
ListPlot[{First[#], Last[#]/10^6} &/@Tally[Total/@RandomInteger[{1, 6}, {10^6, 2}]], Filling->Axis, ImageSize->500, PlotRange-> {{1, 13}, All}, AxesOrigin-> {1, 0}]
Out[1]=
Конечно, если бы игральная кость не была бы идеально сбалансирована и ее грани отличались бы хоть немного, то такая модель случайного процесса была бы не верна, распределение вероятностей имело бы иной вид, что можно увидеть на графиках ниже, построенных Wolfram|ALpha. Существует множество способов задать распределение вероятностей, однако ко всем распределениям предъявляется два обязательных требования: значения вероятностей должны быть неотрицательными и сумма вероятностей всех возможных элементарных событий в рамках данного опыта, должна равняться 1. Это позволяет нам создавать огромное множество распределений вероятностей для решения различных проблем.
Некоторые распределения вероятностей, которые оказались особенно полезными, имеют собственные названия, естественно, Wolfram|Alpha знает большинство из них. Например, биномиальное распределение вероятностей описывает вероятность появления различного количества орлов среди n подбрасываний монеты, которая устроена так, что вероятность выпадения орла при однократном ее подбрасывании равна р. Как и большинство распределений, имеющих собственные имена, биномиальное распределение на самом деле является семейством распределений, которые имеют много общих черт, но несколько отличаются при изменении “параметров” n и р. Функции, которая позволяет вычислить значение вероятностей всех возможных элементарных событий, которые возможны в рамках данного опыта, называется плотностью распределения вероятностей.
Ниже представлен рисунок, на котором показаны теоретические сведения, которые предоставляет на запрос о биномиальном распределении Wolfram|Alpha.
При р=0.7, распределение смещается вправо, так как при этом вероятность выпадения орла становится выше:
При р=0.5, выпадение орла и решки равновероятно, так что соответствующее распределение вероятностей абсолютно симметрично:
Wolfram|Alpha позволяет также рассчитывать вероятности разнообразных событий на основе распределения вероятностей. На языке теории вероятностей, количество выпадений орла в 30 подбрасываниях монеты называется случайной величиной. Для ее представления в запросе участвует некоторая переменная, скажем, x.
На рисунке ниже показано, как с помощью Wolfram|Alpha найти вероятность того, что при 30 подбрасываниях монеты орел выпадет более 19 раз, если вероятность его выпадения при однократном подбрасывании равна 0.6. Заметьте, что геометрически эта вероятность рассчитывается как сумма высот красных сегментов на графике, т. е. равна сумме вероятности того, что выпадет 20 орлов плюс вероятности того, что выпадет 21 орел плюс и т. д.
Распределения вероятностей, подобные рассмотренному выше, берут отрезок единичной длины, после чего делят его на сегменты, которые представляются в виде столбиков, как показано выше. Недостатком такого подхода является то, что с его помощью мы не можем описать непрерывную случайную величину, которая не является счетной, такой подход работает только со случайными величинами, которые принимают лишь дискретное множество значений. Чтобы описать непрерывные случайные величины, мы представим некоторую область, единичной площади, которая растянута вдоль некоторого непрерывного отрезка, которым может быть и вся числовая прямая. Функция, которая описывает распределение вероятностей непрерывной случайной величины называется функцией плотности распределения вероятности.
На рисунке ниже представлен пример того, о чем идет речь. Синяя область на графике (первый график в блоке “Plots”) имеет площадь, равную 1. Такая колоколообразная кривая представляет собой один из способов представить область с единичной площадью, которая “растянута” вдоль всей числовой прямой. Вероятности в данном случае присваиваются не столько отдельным значениям непрерывной случайной величины, сколько их диапазонам, а вероятность того, что случайная величина лежит в некотором диапазоне значений, равна доле синей области, которую занимает этот диапазон. Такие распределения называются непрерывными, а распределения похожие на биномиальное, называются дискретными.
На рисунке ниже показана теория, предоставляемая Wolfram|Alpha по запросу о стандартном нормальном распределении.
Расчет точного значения вероятности для непрерывных распределений, как правило, требует применения математического анализа (интегрирования). Ниже представлен пример расчета вероятности того, что случайная величина имеющая стандартное нормальное распределение будет больше 1:
Как и в дискретном случае, существует множество семейств непрерывных распределений, которые имеют собственные имена. Самым известным из них является, несомненно, нормальное распределение, или распределение Гаусса, которое имеет вид колоколообразной кривой, центр которой и “ширина” регулируются параметрами μ и σ, соответственно.
На первом из рисунков идущих ниже, представлено семейство кривых нормального распределения при разных значениях параметра σ и при одинаковом значении μ, которое равно 6; на втором рисунке наоборот — изменяется μ при фиксированном значении σ, равном 2.
Способность Wolfram|Alpha легко вычислять и визуализировать распределения вероятностей дает вам необычайную свободу. Расчетов такого рода обычно избегают (в академической среде) или же они требуют сложных технических расчетов и значительных навыков программирования.
На первом из рисунков идущих ниже, показано вычисление вероятности того, что случайная величина будет меньше 31, если она имеет гамма-распределение с параметрами α=4 и β=6; на втором рисунке продемонстрировано то, как вычислить вероятность того, что случайная величина будет лежать в интервале от 1 до 3.2, если она имеет F-распределение с параметрами m=8 и n=9
Конечно, наша работа над тем, чтобы сделать Wolfram|Alpha лучшим инструментом для вычисления и понимая вероятности продолжается. Мы рассчитываем на обратную связь с вами и мы будем привносить для вас все больше и больше возможностей для работы с вероятностью в будущем.
Блог принадлежит “Русскоязычной поддержке Wolfram Mathematica"©
При любом использовании материалов блога, ссылка на блог обязательна.
Создано с помощью Wolfram Mathematica 8
При любом использовании материалов блога, ссылка на блог обязательна.
Создано с помощью Wolfram Mathematica 8
Комментариев нет:
Отправить комментарий