Блог русскоязычной поддержки Wolfram Mathematica

От Платона до систем компьютерной математики
(на примере системы Mathematica компании Wolfram Research)

Ассонова Надежда, доцент СмолГУ,
Евсеева Ольга, магистрант СмолГУ.

Таблицы и иллюстрации сделал Роман Осипов.

Нажмите, чтобы скачать данный пост в виде ноутбука Mathematica...

Общее количество использованных в посте встроенных функций или символов: 79

Список имен используемых встроенных функций и символов в порядке их появления в коде:
Grid | Transpose | Table | List ({...}) | Part ([[…]]) | Show | PolyhedronData | Rule (->, ->) | ImageSize | SphericalRegion | True | ViewAngle | Times (*, ×) | Degree | Boxed | False | ViewPoint | Graphics3D | Opacity | Glow | Yellow | EdgeForm | Gray | Lighting | None | SetDelayed (:=) | Pattern (:) | Blank (_) | Orange | Specularity | Red | Thick | Panel | Flatten | Pane | ImageSizeAction | Set (=) | Style | Plus (+) | Bold | Darker | Green | Join | Dividers | Alignment | Center | Background | LightRed | LightBlue | LightYellow | LightGray | LightGreen | ItemStyle | Directive | FontFamily | Manipulate | If | Equal (==) | RuleDelayed (:>, :->) | Initialization | White | Sphere | Map (/@) | Function (&) | Slot (#) | Power (^) | Rational | Black | Dashed | Line | Text | ParametricPlot3D | Cos | Sin | Pi (π) | PlotStyle | CompoundExpression (;) | Row | FullSimplify

Многогранные формы окружают нас повсюду. Почти все сооружения, возведенные человеком, от древнеегипетских пирамид, до современных небоскребов, имеют форму многогранников. Серьезный интерес к многогранникам возник около четырех тысяч лет тому назад и проявляется не только в рамках математики и ее приложений.

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к правильным многогранникам — удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.

По мнению древнеегипетских ученых, форма первоэлемента Земли — куб, Воздуха — октаэдр, Огня — тетраэдр, Воды — икосаэдр, а всему миру творец придал форму пятиугольного додекаэдра.

На современном этапе наука тоже не стоит на месте. И те знания, которые древние ученые получали годами, а иногда и веками, сейчас можно проверить за считанные минуты.

В последнее время мы стали свидетелями появления нового, актуального и полезного научного направления — компьютерной математики. Ее можно определить как совокупность теоретических, алгоритмических, аппаратных и программных средств, предназначенных для эффективного решения на компьютерах всех видов математических задач с высокой степенью визуализации всех этапов вычислений. Последнее играет решающую роль во внедрении систем компьютерной математики (СКМ) в образование — как высшее, так и начальное.

Системы компьютерной математики уже используются для решения учебных, научных и инженерных задач, наглядной визуализации данных и результатов вычислений и в качестве удобных и полных справочников по математическим вычислениям. Они стали мощным инструментом для подготовки электронных уроков, курсов лекций и электронных книг с живыми примерами, которые учащийся может менять.

В процессе написания данной статьи мы попытались решить следующие задачи:

показать возможности СКМ в области геометрии на примере системы Mathematica компании Wolfram Research, для чего

проиллюстрировать теорему Леонарда Эйлера для выпуклых многогранников, используя сстему Mathematica;

проверить теорему Аполлония о соотношении площадей и объемов додекаэдра и икосаэдра.

Компания Wolfram Research основана Стивеном Вольфрамом в 1987 году в США. Сейчас она является одной из наиболее авторитетных компаний по производству программного обеспечения в мире. Главным её продуктом является система компьютерной математики Mathematica. Эта постоянно развивющаяся система ориентирована на научные вычисления и превосходит по функциональности подобные системы. Интерфейс системы Mathematica понятен начинающему пользователю, а её возможности рассчитаны на профессионалов.

Значительный вклад в развитие компьютерной математики внес Владимир Павлович Дьяконов, доктор технических наук, профессор Смоленского государственного университета, действительный член Международной академии наук педагогического образования. Именно ему фирма Wolfram Research Inc. поручила осуществить первую в России презентацию новой версии системы Mathematica 4.0, которая состоялась в СГПУ (Смол ГУ) в ноябре 1999 г.

Греческая же математика, в которой впервые появилась теория многогранников, развивалась под большим влиянием знаменитого мыслителя Платона. В соответствии с традицией, идущей от древних математиков, среди всех многогранников лучшие те, которые имеют своими гранями правильные многоугольники.

Многогранник — геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер — вершинами многогранника. По числу граней различают четырехгранники, пятигранники и т. д. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — правильные одинаковые многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны.

Имеются пять правильных многогранников: тетраэдр (треугольная пирамида), гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Названия этих многогранников состоят из греческих числительных, означающих, соответственно, 4, 6, 8, 12 и 20, и слова hedra — «грань», или «основание».

Тетраэдр имеет 4 грани и 4 вершины, куб — 6 граней и 8 вершин, октаэдр — 8 граней и 6 вершин, додекаэдр — 12 граней и 20 вершин, икосаэдр — 20 граней и 12 вершин.

закрыть

Grid[Transpose@ Table[{polyhedron[[2]], Show[PolyhedronData[polyhedron[[1]]], ImageSize -> 115, SphericalRegion -> True, ViewAngle -> 25 Degree, Boxed -> False, ViewPoint -> {3, 1, 1}]}, {polyhedron, {{"Tetrahedron", "Тэтраэдр"}, {"Hexahedron", "Гексаэдр"}, {"Octahedron", "Октаэдр"}, {"Dodecahedron", "Додекаэдр"}, {"Icosahedron", "Икосаэдр"}}}]]

Все правильные многогранники достаточно объемно представлены в системе Mathematica. Для этого подробнее познакомимся с её девятой версией Mathematica 9.

Зайдем в справочный центр Mathematica. В разделе «Визуализация и графика» («Visualization and Graphics») выберем опцию «Вычислительная геометрия» («Computational Geometry»). Открываем данные о многогранниках (функция PolyhedronData).

Эти данные разбиты на 7 рубрик:

Basic Examples (основные примеры);

Scope (возможности);

Generalizations & Relations (свойства и отношения);

Applications (приложения);

Properties & Relations (свойства и отношения);

Possible Issues (вероятные следствия);

Neat Examples (точные примеры).

Рассмотрим серию команд из первой рубрики.

Команда PolyhedronData[“Dodecahedron”] дает изображение додекаэдра — одного из пяти правильных многогранников. Его изображение можно скопировать в документы MS Word.

закрыть

PolyhedronData["Dodecahedron"]

Команда
PolyhedronData["Dodecahedron","NetImage"]
позволяет получить развертку додекаэдра.

закрыть

PolyhedronData["Dodecahedron", "NetImage"]

Команда
Graphics3D[{Opacity[.5],Glow[Yellow],EdgeForm[Gray],
PolyhedronData["SnubCube","Faces"]},Lighting->None]
позволяет рассмотреть прозрачное изображение многогранника, которое можно рассмотреть со всех сторон.

закрыть

Graphics3D[{Opacity[.5], Glow[Yellow], EdgeForm[Gray], PolyhedronData["SnubCube", "Faces"]}, Lighting -> None]

Команда PolyhedronData[“Icosahedron”,“EdgeCount”] выводит на экран число ребер многогранника. Заменив опцию “EdgeCount” на “VertexCount” (“FaceCount”), получим число вершин (граней) соответственно.

Существует семейство тел, родственных Платоновым — это полуправильные выпуклые многогранники, или Архимедовы тела. У них все многогранные углы равны, все грани — правильные многоугольники, но нескольких различных типов. Называют 13 или 14 архимедовых тел (число неточное, поскольку псевдоромбокубоктаэдр иногда не причисляют к этому семейству). Для того чтобы подробнее познакомится с телами Архимеда, зайдем во второю рубрику “Scope” (возможности). Здесь можно рассмотреть все классы и имена многогранников, как правильных, так и полуправильных.
Команда PolyhedronData["Classes"] их подрубрики “Names and Classes” выдает названия имеющихся классов многогранников.

закрыть

PolyhedronData["Classes"]

Команда PolyhedronData["Archimedean"] дает возможность рассмотреть полуправильные многогранники.

закрыть

PolyhedronData["Archimedean"]

Большой вклад в изучение науки о многогранниках был сделан в XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783), который без преувеличения «проверил алгеброй гармонию». Теорема Эйлера о соотношении между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, доказательство которой Эйлер опубликовал в 1758 г. в «Записках Петербургской академии наук», окончательно навела математический порядок в многообразном мире многогранников.

Теорема звучит так,

пусть B — число вершин выпуклого многогранника, P — число его ребер и Г — число граней. Тогда верно равенство: В - Р+ Г=2.

Число

χ = В - Р + Г

называется эйлеровой характеристикой многогранника.

Согласно теореме Эйлера, для выпуклого многогранника эта характеристика равна 2. То, что эйлерова характеристика равна 2, видно из следующей таблицы:

закрыть

polyhedron3D[polyhedron_] := Graphics3D[{Opacity[.6], Orange, Specularity[Red, 10], EdgeForm[{Gray, Thick}], PolyhedronData[polyhedron, "Faces"]}, Lighting -> "Neutral", Boxed -> False, ImageSize -> 200, SphericalRegion -> True]

закрыть

Panel@Grid[ Flatten[Table[{{Pane[PolyhedronData[polyhedron, "Name"], {200, 30}, ImageSizeAction -> "ShrinkToFit"], "Вершины", "Ребра", "Грани", "В-Р+Г"}, {polyhedron3D[polyhedron], vc = PolyhedronData[polyhedron, "VertexCount"], ec = PolyhedronData[polyhedron, "EdgeCount"], fc = PolyhedronData[polyhedron, "FaceCount"], Style[vc - ec + fc, 50, Bold, Darker@Green]}}, {polyhedron, PolyhedronData["Platonic"]~Join~PolyhedronData["Archimedean"]}], 1], Dividers -> {{{True}}, {{True, False}}}, Alignment -> {Center, Center}, Background -> {{None, LightRed, LightBlue, LightYellow, LightGray}, {{LightGreen, None}}}, ItemStyle -> Directive[{20, Bold, FontFamily -> "Verdana"}]]

Исследовать эйлерову характеристику любого из 195 многогранников, доступных в Mathematica, можно с помощью динамического манипулятора:

закрыть

Manipulate[ Grid[{{Pane[PolyhedronData[polyhedron, "Name"], {200, 30}, ImageSizeAction -> "ShrinkToFit"], "Вершины", "Ребра", "Грани", "В-Р+Г"}, {polyhedron3D[polyhedron], vc = PolyhedronData[polyhedron, "VertexCount"], ec = PolyhedronData[polyhedron, "EdgeCount"], fc = PolyhedronData[polyhedron, "FaceCount"], Style[vc - ec + fc, 50, Bold, If[vc - ec + fc == 2, Darker[Green], Red]]}}, Dividers -> {{{True}}, {{True, False}}}, Alignment -> {Center, Center}, Background -> {{None, LightRed, LightBlue, LightYellow, LightGray}, {{LightGreen, None}}}, ItemStyle -> Directive[{20, Bold, FontFamily -> "Verdana"}]], {{polyhedron, "Dodecahedron", "Полиэдр:"}, PolyhedronData[]}, Initialization :> {polyhedron3D[polyhedron_] := Graphics3D[{Opacity[0.6], Orange, Specularity[Red, 10], EdgeForm[{Gray, Thick}], PolyhedronData[polyhedron, "Faces"]}, Lighting -> "Neutral", Boxed -> False, ImageSize -> 200, SphericalRegion -> True]}]

Эти характеристики очень просто рассчитать в системе Mathematica, используя команды, описанные ранее.

Если наблюдать и рассматривать многогранные формы, то можно не только почувствовать их красоту, но и обнаружить некоторые закономерности, возможно, имеющие прикладное значение.

Согласно знаменитой тереме Апполония, отношение площадей поверхностей додекаэдра и икосаэдра, вписанных в одну и ту же сферу, равно отношению их объемов.

Доказательство Аполлония в трактате о додекаэдре и икосаэдре основано на следующих фактах, полное доказательство которых содержит немало печатных страниц.

1) Для любого правильного многогранника, вписанного в сферу радиуса R, радиус r круга, описанного около его грани, и перпендикуляр h, опущенный из центра сферы на эту грань (1), связаны соотношением: .

закрыть

Show[{Graphics3D[{{Opacity[0.6], Green, Specularity[White, 20], Sphere[]}, Red, Sphere[#, 1/40] & /@ {{Sqrt[3]/2, 0, 1/2}, {0, 0, 0}, {0, 0, 1/ 2}, {-(Sqrt[3]/2), 0, 1/2}}, Black, Dashed, Thick, Line[{{0, 0, 0}, {Sqrt[3]/2, 0, 1/2}, {-(Sqrt[3]/2), 0, 1/2}}], Line[{{0, 0, 0}, {0, 0, 1/2}}], Text[Style["R", 20, Bold], {Sqrt[3]/2, 0, 1/2}/2, {0, 1}], Text[Style["r", 20, Bold], ({0, 0, 1/2} + {Sqrt[3]/2, 0, 1/2})/ 2, {0, -1.5}], Text[Style["h", 20, Bold], {0, 0, 1/2}/2, {2, 0}]}], ParametricPlot3D[{1/2 Sqrt[3] Cos[a], 1/2 Sqrt[3] Sin[a], 1/2}, {a, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> Thick]}, Boxed -> False, ImageSize -> 500, Lighting -> "Neutral"]

2) Следствие из предложения XII «Начал» Евклида, в силу которого объем любой пирамиды равен трети произведения площади ее основания на высоту.

3) Доказанное Аристеем равенство радиусов r для додекаэдра и икосаэдра, вписанных в сферу радиуса R. Отсюда следует следует, что для этих многогранников перпендикуляры h также равны. Если мы обозначим площадь пятиугольной грани додекаэдра, вписанного в сферу радиуса R, буквой P, а площадь треугольной грани икосаэдра, вписанного в ту же сферу, буквой T, то площадь поверхности додекаэдра будет равна 12P, площадь поверхности икосаэдра — 20T. С другой стороны, каждый правильный многогранник можно разбить на пирамиды, основаниями которых являются грани многогранника, а вершинами — центр сферы. Объем каждой такой пирамиды додекаэдра равен , а объем каждой такой пирамиды икосаэдра равен . Поэтому объем додекаэдра равен 4Ph, а объем икосаэдра равен . Отношение площадей поверхностей этих многогранников равно 12P:(20T) = 3P:(5T).
Отношение их объёмов равно 4Ph:(20Th/3) = 3P:(5T).

Как видим, данное доказательство сложно и трудоемко,  а с помощью системы компьютерной математики это сделать гораздо проще и быстрее.

Теорема Аполлония для додекаэдра и икосаэдра, вписанных в одну и туже сферу, выглядит следующим образом:

,

и , следовательно, отношение этих частных равно единице:

.

Здесь буквами , , , обозначены объём додекаэдра, объём икосаэдра, площадь поверхности додекаэдра, площадь поверхности икосаэдра.

Системаа Mathematica не предусматривает равенство радиусов сфер, описанных вокруг додекаэдра и икосаэдра. Зная, что объем куба пропорционален кубу линейных размеров, а площадь пропорциональна квадратам линейных размеров, то теорема приобретает вид:

, ⇒ .

В подрубрике “Property Values” (величины) имеется команда, позволяющая узнать объем многогранника.

закрыть

PolyhedronData ["Dodecahedron", "Volume"]

и его площадь

закрыть

PolyhedronData["Dodecahedron", "SurfaceArea"]

Отношения между площадями и объемами  додекаэдра и икосаэдра мы найдем с помощью следующей команды:

закрыть

Vd = PolyhedronData["Dodecahedron", "Volume"]; Vi = PolyhedronData["Icosahedron", "Volume"]; Sd = PolyhedronData["Dodecahedron", "SurfaceArea"]; Si = PolyhedronData["Icosahedron", "SurfaceArea"]; Row[{(Vd/Vi)/(Sd/Si), "=", FullSimplify[(Vd/Vi)/(Sd/Si)]}]

Поскольку, объем куба пропорционален кубу линейных размеров, площадь пропорциональна квадратам линейных размеров, то для доказательства данной теоремы необходимо найти отношение радиусов описанных сфер вокруг додекаэдра и икосаэдра. Оно равно:

закрыть

Rd = PolyhedronData["Dodecahedron", "Circumradius"]; Ri = PolyhedronData["Icosahedron", "Circumradius"]; Row[{Rd/Ri, "=", FullSimplify[Rd/Ri]}]

Сравним соотношение объемов и площадей додекаэдра с отношением радиусов, описанных вокруг них сфер.

закрыть

FullSimplify[(Vd/Vi)/(Sd/Si) == Rd/Ri]

Оно идентично. Что и требовалось доказать.

Как видим, СКМ  обладают большими возможностями и огромным потенциалом. Следует отметить, что те знания, которые добывались долгим путем, а в последствии и проверялись многие годы, а иногда  и века, сейчас с помощью СКМ проверить очень быстро и это не требует трудоемких вычислительных процессов.

Литература
1. Глейзер Г. И. История математики в школе: IX – X Кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983.
2. Дьяконов  В. П. Компьютерная  математика. Теория и практика. М.: Нолидж, 2001.
3. Дьяконов  В. П. Системы символьной  математики  Mathematica 2 и Mathematica 3. М.: СК ПРЕСС, 1998.

Блог принадлежит “Русскоязычной поддержке Wolfram Mathematica"©
При любом использовании материалов блога, ссылка на блог обязательна.
Создано с помощью Wolfram Mathematica 9