Лекция Стивена Вольфрама

ВНИМАНИЕ!!!

БЛОГ ПЕРЕЕХАЛ НА НОВЫЙ АДРЕС https://blog.wolframmathematica.ru

Онлайн машина вычисления знаний Wolfram|Alpha ®

Онлайн машина вычисления знаний Wolfram|Alpha ®

пятница, 1 марта 2013 г.

От Платона до систем компьютерной математики
Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_Large.png
От Платона до систем компьютерной математики
(на примере системы Mathematica компании Wolfram Research)

Ассонова Надежда, доцент СмолГУ,
Евсеева Ольга, магистрант СмолГУ.

Таблицы и иллюстрации сделал Роман Осипов.
Общее количество использованных в посте встроенных функций или символов: 79

Список имен используемых встроенных функций и символов в порядке их появления в коде:
Grid | Transpose | Table | List ({...}) | Part ([[…]]) | Show | PolyhedronData | Rule (->, ->) | ImageSize | SphericalRegion | True | ViewAngle | Times (*, ×) | Degree | Boxed | False | ViewPoint | Graphics3D | Opacity | Glow | Yellow | EdgeForm | Gray | Lighting | None | SetDelayed (:=) | Pattern (:) | Blank (_) | Orange | Specularity | Red | Thick | Panel | Flatten | Pane | ImageSizeAction | Set (=) | Style | Plus (+) | Bold | Darker | Green | Join | Dividers | Alignment | Center | Background | LightRed | LightBlue | LightYellow | LightGray | LightGreen | ItemStyle | Directive | FontFamily | Manipulate | If | Equal (==) | RuleDelayed (:>, :->) | Initialization | White | Sphere | Map (/@) | Function (&) | Slot (#) | Power (^) | Rational | Black | Dashed | Line | Text | ParametricPlot3D | Cos | Sin | Pi (π) | PlotStyle | CompoundExpression (;) | Row | FullSimplify
Многогранные формы окружают нас повсюду. Почти все сооружения, возведенные человеком, от древнеегипетских пирамид, до современных небоскребов, имеют форму многогранников. Серьезный интерес к многогранникам возник около четырех тысяч лет тому назад и проявляется не только в рамках математики и ее приложений.
Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к правильным многогранникам — удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.
По мнению древнеегипетских ученых, форма первоэлемента Земли — куб, Воздуха — октаэдр, Огня — тетраэдр, Воды — икосаэдр, а всему миру творец придал форму пятиугольного додекаэдра.
На современном этапе наука тоже не стоит на месте. И те знания, которые древние ученые получали годами, а иногда и веками, сейчас можно проверить за считанные минуты.
В последнее время мы стали свидетелями появления нового, актуального и полезного научного направления — компьютерной математики. Ее можно определить как совокупность теоретических, алгоритмических, аппаратных и программных средств, предназначенных для эффективного решения на компьютерах всех видов математических задач с высокой степенью визуализации всех этапов вычислений. Последнее играет решающую роль во внедрении систем компьютерной математики (СКМ) в образование — как высшее, так и начальное.
Системы компьютерной математики уже используются для решения учебных, научных и инженерных задач, наглядной визуализации данных и результатов вычислений и в качестве удобных и полных справочников по математическим вычислениям. Они стали мощным инструментом для подготовки электронных уроков, курсов лекций и электронных книг с живыми примерами, которые учащийся может менять.
В процессе написания данной статьи мы попытались решить следующие задачи:
показать возможности СКМ в области геометрии на примере системы Mathematica компании Wolfram Research, для чего
проиллюстрировать теорему Леонарда Эйлера для выпуклых многогранников, используя сстему Mathematica;
проверить теорему Аполлония о соотношении площадей и объемов додекаэдра и икосаэдра.
Компания Wolfram Research основана Стивеном Вольфрамом в 1987 году в США. Сейчас она является одной из наиболее авторитетных компаний по производству программного обеспечения в мире. Главным её продуктом является система компьютерной математики Mathematica. Эта постоянно развивющаяся система ориентирована на научные вычисления и превосходит по функциональности подобные системы. Интерфейс системы Mathematica понятен начинающему пользователю, а её возможности рассчитаны на профессионалов.
Значительный вклад в развитие компьютерной математики внес Владимир Павлович Дьяконов, доктор технических наук, профессор Смоленского государственного университета, действительный член Международной академии наук педагогического образования. Именно ему фирма Wolfram Research Inc. поручила осуществить первую в России презентацию новой версии системы Mathematica 4.0, которая состоялась в СГПУ (Смол ГУ) в ноябре 1999 г.
Греческая же математика, в которой впервые появилась теория многогранников, развивалась под большим влиянием знаменитого мыслителя Платона. В соответствии с традицией, идущей от древних математиков, среди всех многогранников лучшие те, которые имеют своими гранями правильные многоугольники.
Многогранник — геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер — вершинами многогранника. По числу граней различают четырехгранники, пятигранники и т. д. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — правильные одинаковые многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны.
Имеются пять правильных многогранников: тетраэдр (треугольная пирамида), гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Названия этих многогранников состоят из греческих числительных, означающих, соответственно, 4, 6, 8, 12 и 20, и слова hedra — «грань», или «основание».
Тетраэдр имеет 4 грани и 4 вершины, куб — 6 граней и 8 вершин, октаэдр — 8 граней и 6 вершин, додекаэдр — 12 граней и 20 вершин, икосаэдр — 20 граней и 12 вершин.
Нажмите, чтобы получить возможность скопировать код Wolfram Mathematica
закрыть
Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_1.gif
Все правильные многогранники достаточно объемно представлены в системе Mathematica. Для этого подробнее познакомимся с её девятой версией Mathematica 9.
Зайдем в справочный центр Mathematica. В разделе «Визуализация и графика» («Visualization and Graphics») выберем опцию «Вычислительная геометрия» («Computational Geometry»). Открываем данные о многогранниках (функция PolyhedronData).
Эти данные разбиты на 7 рубрик:
Basic Examples (основные примеры);
Scope (возможности);
Generalizations & Relations (свойства и отношения);
Applications (приложения);
Properties & Relations (свойства и отношения);
Possible Issues (вероятные следствия);
Neat Examples (точные примеры).
Рассмотрим серию команд из первой рубрики.
Команда PolyhedronData[“Dodecahedron”] дает изображение додекаэдра — одного из пяти правильных многогранников. Его изображение можно скопировать в документы MS Word.
Нажмите, чтобы получить возможность скопировать код Wolfram Mathematica
закрыть
Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_2.gif
Команда
PolyhedronData["Dodecahedron","NetImage"]
позволяет получить развертку додекаэдра.
Нажмите, чтобы получить возможность скопировать код Wolfram Mathematica
закрыть
Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_3.gif
Команда
Graphics3D[{Opacity[.5],Glow[Yellow],EdgeForm[Gray],
PolyhedronData["SnubCube","Faces"]},Lighting->None]

позволяет рассмотреть прозрачное изображение многогранника, которое можно рассмотреть со всех сторон.
Нажмите, чтобы получить возможность скопировать код Wolfram Mathematica
закрыть
Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_4.gif
Команда PolyhedronData[“Icosahedron”,“EdgeCount”] выводит на экран число ребер многогранника. Заменив опцию “EdgeCount” на “VertexCount” (“FaceCount”), получим число вершин (граней) соответственно.
Существует семейство тел, родственных Платоновым — это полуправильные выпуклые многогранники, или Архимедовы тела. У них все многогранные углы равны, все грани — правильные многоугольники, но нескольких различных типов. Называют 13 или 14 архимедовых тел (число неточное, поскольку псевдоромбокубоктаэдр иногда не причисляют к этому семейству). Для того чтобы подробнее познакомится с телами Архимеда, зайдем во второю рубрику “Scope” (возможности). Здесь можно рассмотреть все классы и имена многогранников, как правильных, так и полуправильных.
Команда PolyhedronData["Classes"] их подрубрики “Names and Classes” выдает названия имеющихся классов многогранников.
Нажмите, чтобы получить возможность скопировать код Wolfram Mathematica
закрыть
Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_5.gif
Команда PolyhedronData["Archimedean"] дает возможность рассмотреть полуправильные многогранники.
Нажмите, чтобы получить возможность скопировать код Wolfram Mathematica
закрыть
Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_6.gif
Большой вклад в изучение науки о многогранниках был сделан в XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783), который без преувеличения «проверил алгеброй гармонию». Теорема Эйлера о соотношении между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, доказательство которой Эйлер опубликовал в 1758 г. в «Записках Петербургской академии наук», окончательно навела математический порядок в многообразном мире многогранников.
Теорема звучит так,
пусть B — число вершин выпуклого многогранника, P — число его ребер и Г — число граней. Тогда верно равенство: В - Р+ Г=2.
Число
χ = В - Р + Г
называется эйлеровой характеристикой многогранника.
Согласно теореме Эйлера, для выпуклого многогранника эта характеристика равна 2. То, что эйлерова характеристика равна 2, видно из следующей таблицы:
Нажмите, чтобы получить возможность скопировать код Wolfram Mathematica
закрыть
Нажмите, чтобы получить возможность скопировать код Wolfram Mathematica
закрыть
Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_7.gif
Исследовать эйлерову характеристику любого из 195 многогранников, доступных в Mathematica, можно с помощью динамического манипулятора:
Нажмите, чтобы получить возможность скопировать код Wolfram Mathematica
закрыть
Эти характеристики очень просто рассчитать в системе Mathematica, используя команды, описанные ранее.
Если наблюдать и рассматривать многогранные формы, то можно не только почувствовать их красоту, но и обнаружить некоторые закономерности, возможно, имеющие прикладное значение.
Согласно знаменитой тереме Апполония, отношение площадей поверхностей додекаэдра и икосаэдра, вписанных в одну и ту же сферу, равно отношению их объемов.
Доказательство Аполлония в трактате о додекаэдре и икосаэдре основано на следующих фактах, полное доказательство которых содержит немало печатных страниц.
1) Для любого правильного многогранника, вписанного в сферу радиуса R, радиус r круга, описанного около его грани, и перпендикуляр h, опущенный из центра сферы на эту грань (1), связаны соотношением: Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_9.png.
Нажмите, чтобы получить возможность скопировать код Wolfram Mathematica
закрыть
Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_10.gif
2) Следствие из предложения XII «Начал» Евклида, в силу которого объем любой пирамиды равен трети произведения площади ее основания на высоту.
3) Доказанное Аристеем равенство радиусов r для додекаэдра и икосаэдра, вписанных в сферу радиуса R. Отсюда следует следует, что для этих многогранников перпендикуляры h также равны. Если мы обозначим площадь пятиугольной грани додекаэдра, вписанного в сферу радиуса R, буквой P, а площадь треугольной грани икосаэдра, вписанного в ту же сферу, буквой T, то площадь поверхности додекаэдра будет равна 12P, площадь поверхности икосаэдра — 20T. С другой стороны, каждый правильный многогранник можно разбить на пирамиды, основаниями которых являются грани многогранника, а вершинами — центр сферы. Объем каждой такой пирамиды додекаэдра равен Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_11.png, а объем каждой такой пирамиды икосаэдра равен Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_12.png. Поэтому объем додекаэдра равен 4Ph, а объем икосаэдра равен Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_13.png. Отношение площадей поверхностей этих многогранников равно 12P:(20T) = 3P:(5T).
Отношение их объёмов равно 4Ph:(20Th/3) = 3P:(5T).
Как видим, данное доказательство сложно и трудоемко,  а с помощью системы компьютерной математики это сделать гораздо проще и быстрее.
Теорема Аполлония для додекаэдра и икосаэдра, вписанных в одну и туже сферу, выглядит следующим образом:
Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_14.png,
и , следовательно, отношение этих частных равно единице:
Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_15.png.
Здесь буквами Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_16.png, Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_17.png, Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_18.png, Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_19.png обозначены объём додекаэдра, объём икосаэдра, площадь поверхности додекаэдра, площадь поверхности икосаэдра.
Системаа Mathematica не предусматривает равенство радиусов сфер, описанных вокруг додекаэдра и икосаэдра. Зная, что объем куба пропорционален кубу линейных размеров, а площадь пропорциональна квадратам линейных размеров, то теорема приобретает вид:
Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_20.png, Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_21.pngOt_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_22.png.
В подрубрике “Property Values” (величины) имеется команда, позволяющая узнать объем многогранника.
Нажмите, чтобы получить возможность скопировать код Wolfram Mathematica
закрыть
Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_23.gif
и его площадь
Нажмите, чтобы получить возможность скопировать код Wolfram Mathematica
закрыть
Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_24.gif
Отношения между площадями и объемами  додекаэдра и икосаэдра мы найдем с помощью следующей команды:
Нажмите, чтобы получить возможность скопировать код Wolfram Mathematica
закрыть
Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_25.gif
Поскольку, объем куба пропорционален кубу линейных размеров, площадь пропорциональна квадратам линейных размеров, то для доказательства данной теоремы необходимо найти отношение радиусов описанных сфер вокруг додекаэдра и икосаэдра. Оно равно:
Нажмите, чтобы получить возможность скопировать код Wolfram Mathematica
закрыть
Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_26.gif
Сравним соотношение объемов и площадей додекаэдра с отношением радиусов, описанных вокруг них сфер.
Нажмите, чтобы получить возможность скопировать код Wolfram Mathematica
закрыть
Ot_Platona_do_sistem_kompjuternoj_matematiki_27.gif
Оно идентично. Что и требовалось доказать.
Как видим, СКМ  обладают большими возможностями и огромным потенциалом. Следует отметить, что те знания, которые добывались долгим путем, а в последствии и проверялись многие годы, а иногда  и века, сейчас с помощью СКМ проверить очень быстро и это не требует трудоемких вычислительных процессов.
Литература
1. Глейзер Г. И. История математики в школе: IX – X Кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983.
2. Дьяконов  В. П. Компьютерная  математика. Теория и практика. М.: Нолидж, 2001.
3. Дьяконов  В. П. Системы символьной  математики  Mathematica 2 и Mathematica 3. М.: СК ПРЕСС, 1998.

Блог принадлежит “Русскоязычной поддержке Wolfram Mathematica
При любом использовании материалов блога, ссылка на блог обязательна.
SpikeyСоздано с помощью Wolfram Mathematica 9

Комментариев нет:

Отправить комментарий