Блог русскоязычной поддержки Wolfram Mathematica

100 Лет Спустя,
заполненные пропуски в записях Рамануджана

Олег Маричев (Oleg Marichev), Special Function Researcher
Майкл Тротт (Michael Trott), Chief Scientist

Нажмите, чтобы скачать данный пост в виде ноутбука Mathematica...

Общее количество использованных в посте встроенных функций или символов: 23

Список имен используемых встроенных функций и символов в порядке их появления в коде:
CompoundExpression (;) | SetDelayed (:=) | Pattern (:) | Blank (_) | Times (*, ×) | Power (^) | QPochhammer | Set (=) | N | E (e) | Rational | Pi (π) | RootApproximant | ToRadicals | Plus (+) | Equal (==) | Reduce | ReplaceAll (/.) | Rule (->, ->) | Reals | FullSimplify | Out (%) | Together

Оригинальный пост: After 100 Years, Ramanujan Gap Filled
Перевод сделала: Сильва Торосян — старший инженер, преподаватель факультета точных и естественных наук Тбилисского государственного университета им. И. Джавахишвили

Столетие назад Сриниваса Рамануджан и Г. Х. Харди начали вести знаменитую переписку о математике, столь удивительной, что Харди говорил о ней: "в ее существование едва ли можно поверить". 1 мая 1913 г. Рамануджану дали постоянную должность в Кембриджском университете. Через пять лет и один день он был избран в члены Королевского общества, в то время самого престижного научного сообщества в мире. В 1919 году с 27 февраля до 13 марта, во время долгой поездки обратно в Индию на параходе Нагоя, Рамануджан тяжело заболел. Всё, что было у него с собой — это перо и блокнот (конечно Mathematica тогда не было), и он хотел успеть записать свои уравнения, прежде чем умереть. Он утверждал, что имел решения для особой функции, но у него было время только для записи некоторых из них, прежде чем перейти  в другие области математики. Он записал следующее неполное уравнение с 14 другими, но только 3 из них решил.

Через несколько месяцев он  скончался, скорее всего от печеночного амебиаза. Его блокнот с последними записями был отправлен Мадрасским  университетом Г. Х. Харди, который в свою очередь дал его математику Г. Н. Уотсону. После смерти  Уотсона, в 1965 году канцлер колледжа в своём кабинете во время уборки бумаг, которые должны были быть сожжены,  нашёл этот блокнот. В 1976 году Джордж Эндрюс вновь обнаружил блокнот, который наконец-то был опубликован в 1987 году. Брюс Берндт и Эндрюс писали о Потерянном блокноте Рамануджана в ряде книг (Часть 1, Часть 2 и Часть 3). Берндт сказал: “открытие этого ‘Потерянного блокнота’, вызовет примерно такое же волнение в математическом мире, какое бы вызвало открытие десятой симфонии Бетховена в музыкальном мире.”

Анализируя результаты в книге  Рамануджана, Берндт отмечает существование решения для , но говорит: “мы не записываем значение здесь, потому что оно не особенно изящно”. Как будет показано ниже, существует решение  такое же изящное как и другие значения, найденные самим Рамануджаном.

Что означает это уравнение? Мы начнём со сравнения арифметических последовательностей с геометрическими последовательностями.

Арифметическая: 1 + 2 + 3 + ... + n.

Геометрическая: .

Для каждого из этих типов мы можем определить значение формул частичных  сумм. Другая форма арифметической прогрессии в виде цепных дробей приведена ниже:

где символ соответствует функции Mathematica  ContinuedFractionK.

“Геометрический тип” цепных дробей известен как функция R Роджерса-Рамануджана. Существует связанная с R, функция S Роджерса-Рамануджана (названная в честь Леонарда Джеймса Роджерса, который в 1919 году опубликовал несколько работ с Рамануджаном). В потерянном блокноте F(q) представляет собой функцию S(q).

Функция R(q) это цепная дробь вида:

Функция S(q) определяется аналогично. (Наличие вначале множителя придаёт многим формулам, которые получаются в будущем, наглядности  и простоты.) Более формальные определения функций R и S следующие:

Эти функции связаны соотношением:

.

Во многих опубликованных работах отмечается, что

S(q)==-R(-q),

но это неверно из-за наличия ветвей у этих многолистных функций. Мы можем определить R и S другим способом, вычисления согласно которому будут более быстрыми, используя символы Q-Похгаммера:

Здесь приведены рисунки поведения функции R внутри единичного круга в комплексной плоскости. Вычисляемые значения могут быть комплексными, следовательно эти рисунки представляют собой изображение мнимой и действительной частей, а такде значения аргумента и модуля (Im, Re, Arg, и Abs) функции R(q). Сама единичная окружность является  естественной  границей аналитичности функции R(q) и имеет плотный набор особенностей. Очевидно, что  функции Роджерса-Рамануджана красивы, не только из-за их математических свойств, но также и визуально (код для создания изображений см. в Приложении 1).

Функции R и S — две из нескольких упомянутых функций, которые посвященны цепным дробям. За последнее время, мы собирали теоремы и формулы для R и S, включая незавершённые записи Рамануджана, которые он оставил в исходном “потерянном блокноте”. Так, последняя строка эквивалентна .

Многие из этих формул были найдены после того, как Рамануджан записал их. Все они без труда ищутся с помощью Mathematica. Мы составили список значений и их первооткрывателей с решениями Олега Маричева, впервые реализованными с помощью Mathematica (код для создания таблицы см. в Приложении 2).

Брюс Берндт писал: “значение может быть определено при помощи использования значения вместе с известным уравнением, связывающим с R(q). Мы не записываем значение здесь, потому что это не особенно изящно.”

С помощью функций Simplify, RootReduce и многих других функций Mathematica, гигантские уравнения можно свести к их самой простой форме. Рамануджан использовал мел и свой ум, чтобы упростить большинство своих результатов, длинные ответы он стёр со своей грифельной доски, но лучшие результаты вычислений он записал. По-видимому, Рамануджан действилельно знал лучшие решения или, по крайней мере, имел способ для их нахождения, ему всего лишь не хватило времени, чтобы его записать.

Вот метод, который мы используем:

во-первых, вычислим численное значение для интересующей точки;

во-вторых, получим закрытую алгебраическую форму для этого числа;

в-третьих, выразим алгебраическое число в виде вложенных радикалов;

в конце, проверим полученную форму c большой точностью.

закрыть

RogersRamanujanS[q_] := ( q^(1/5) QPochhammer[-q, -q^5] QPochhammer[q^4, -q^5])/( QPochhammer[q^2, -q^5] QPochhammer[-q^3, -q^5]);

закрыть

numValue = N[RogersRamanujanS[E^(-((Sqrt[3] \[Pi])/5))], 100]

закрыть

algebraicConjecture = RootApproximant[numValue, 24]

закрыть

ToRadicals[algebraicConjecture ]

Затем мы проверяем, что численное значение полученной формы совпадает со значением функции. Значения совпадают по меньшей мере с точностью до 10000 знаков.

закрыть

N[RogersRamanujanS[ E^(-((Sqrt[3] \[Pi])/5))] - (3 - Sqrt[5] + Sqrt[ 3 (5 - 2 Sqrt[5])])^(1/5), 10000]

Это — достаточно убедительная проверка. Этод метод может  быть легко обобщен для нахождения мгогих других, до сих пор неизвестных, значений как для S(q), так же и для R(q).

Точное доказательство может быть получено с помощью модульных уравнений. Ниже приведено модульное уравнение 5-го порядка для функции S:

закрыть

modularEquationSOrder5 = S[q]^5 - S[q^5] - 3 S[q]^5 S[q^5] - 2 S[q^5]^2 + 4 S[q]^5 S[q^5]^2 - 4 S[q^5]^3 - 2 S[q]^5 S[q^5]^3 - 3 S[q^5]^4 + S[q]^5 S[q^5]^4 - S[q^5]^5 == 0

Мы используем ранее известное значение для и решаем относительно S(q), чтобы получить значение .

закрыть

Reduce[modularEquationSOrder5 /. S[q^5] -> 1/4 (-3 - Sqrt[5] + Sqrt[6 (5 + Sqrt[5])]), S[q], Reals]

закрыть

FullSimplify[%]

Убирая знаменатели, мы получим вышеупомянутую форму результата.

закрыть

Together[1/(-3 + Sqrt[5] + Sqrt[15 - 6 Sqrt[5]])^(1/5) 1/(3 - Sqrt[5] + Sqrt[15 - 6 Sqrt[5]])^(1/5)] (3 - Sqrt[5] + Sqrt[ 15 - 6 Sqrt[5]])^(1/5)

Уравнения Рамануджана связаны с недавно выполненной нами работой, цель которой, добавление информации и формул о множестве цепных дробей в базу знаний Wolfram|Alpha. В следующем блоге мы подробно изложим новые возможности, такие как ввод цепных дробей K (1, n, {n, 1, inf}).

Мы также составили список из сотен точных значений “R и S Рамануждана” для интерактивной демонстрации:

“Не особенно изящно” — то что никогда нельзя сказать о Рамануджане. Мы рады, что смогли показать, ум Рамануджана  обладал поистине потрясающими способностями.

Приложение 1

Приложение 2

Блог принадлежит “Русскоязычной поддержке Wolfram Mathematica"©
При любом использовании материалов блога, ссылка на блог обязательна.
Создано с помощью Wolfram Mathematica 9